Frege和Kant論何謂數

讀Frege的《算術基礎》(王路中譯,p. 15-16)「(像2+3=5)這樣的數公式被一些哲學家看作像公理一樣是不可證明的和直接顯然的。康德宣布它們是不可證明的和綜合的,但對把它們叫做公理有所顧忌,因為它們不是一般的(allgemein),還因為它的數目是無窮的。…     康德顯然只考慮了比較小的數。於是,對於比較小的數通過直覺是直接明暸的公式,對於大數就會是可證明的。然而難辦的是,要對較小的數和較大的數做出根本的區別,尤其是在不可劃出明確界線的地方。如果譬如說是從10起,數公式是可證明的,那麼人們就有理由問:為什麼不是從5起、從2起,從1起呢?」

就人(特別是古人)的理解來說,確實需要區分比較小的數(依直覺)和比較大的數(依理性推論)。比較大的數是由比較小的數組合而成。這個組合的方式可以是加法的(如羅馬數字),也可以是乘法的(如阿拉伯數字)。Frege質問大小數的界限如果是從10起,為什麼不是從5或2。這個問題之所以會成為問題,是因為 Frege沒有具體地思考人是如何理解數的。當數目大到一個程度而超過人的直覺時,人就會對這些個體進行「分組」,10個一組,再大時 10個10一組,所以我們需要的只不過是「進位」的概念。至於為什麼是10而不是5、2或1,這完全出於經驗的偶然:因為我們有10隻手指。如果有8隻手指,那麼現在流行的大概就是8進位。雖然進位的底數是偶然的和(某種意義上說)任意的,但這不妨礙我們肯定康德的理論:數的概念基於直覺,按直覺的形成有限個數公式,而大數的概念則以底數為單元組成而成。進位的底數是10、5或是2並不會使前面的敘述由真變假。至於底數不能是1的道理則十分顯然。

Frege對康德的質問,只是企圖把自然數看成1,1+1,1+1+1,1+1+1,…的序列,因此要將依賴直覺的公式數量縮減到最少(1和+1還是需要直覺的)。但具體地說(in concreto),數從來不是一個均質透明的概念,一個數只要夠大,它本身就包含了多層次的集合關係,我們必須將大得難以理解的數分解成我們可直覺的單元的組合。而Frege針對這個看法說:「人們也許會認為,物理事實只用於譬如10以內較小的數,而其它的數可以由這些數構造起來。但如果不用看到相應的聚集,僅通過定義就能由10加1構成11,那麼就沒有理由說明為什麼人不能也這樣由1加1構造2。」(p. 21)問題不在為什麼 10+1=11 ,而是9+1=10 或是 1+1=10 ,重點是進位的觀念。Frege顯然是把進位單純只當成記數法(以符號表象實體)的問題,而無視於進位的觀念在理解大數時的必要性。以前有個故事說,一個蒙童上私塾,老師第一天教了個一字,第二天又教了個二字,第三天就教了個三字,小孩兒回家便說他全會了,不用上學了。某日,媽媽喚這小孩兒說:「你寫張帖子請你『萬』叔叔來吧…」

康德和Frege在數的概念的差異就是算術和代數的差異。Frege的構造方法只有以代數的一般性為基礎,任意大小的自然數才得以不需要集合的概念(進位)而作為實體(在這方面2和135664並無差別)。代數上講三個自然數a+b=c時,無視於a、b、c的真實大小(與因大小而產生理解上的問題),只需要知道它們作為自然數在概念所具有的一般性質就足夠了,符號a、b、c的無關緊要正意味著這種無視。當代文明的爆炸性進展,或許正基於這種對直覺的無視…?

*這兩天剛好讀到:「純粹的綜合,從普遍的方面來看,就提供出純粹的知性概念。但我理解的純粹綜合是以先天的綜合統一性為基礎的綜合:所以我們的計數(尤其是在數目較大的情況下看得更明白)是根據概念的綜合,因為它是按照單元(Einheit)的某種共同基礎(例如十進制)來進行的。」(KrV B104)我很自我感覺良好地把康德這番話看成他老人家贊成我以上分析的證據。

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